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補題6.6
(3) (略)Ψ(Γ)はZ1(G2)の要素である。
(4) (略)φ(Γ)はZ1(G1)の要素である。

このΨ(Γ)とφ(Γ)は逆ではないのか?
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多項式の展開とか、たくさんの項がでてきてそれを潰しながら計算することはよくあります。そのとき僕は、文字の上に線を引くと読めなくなるから、下線を引く、または丸を付ける、またはマーカーで印をつけます。

式を書き直さなくても、一回目には下線を引いて計算して、二回目には丸をつけて検算もできるのです。なんなら三回目にマーカーも使えます。
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2本のロープが一致しなかったとします。まずロープが全く異なる軌跡を描いていて、1箇所も一致しない場合を考えます。

このとき2本のロープは別々のトーラス穴にかかっています。なので第三の境界線に沿って同じことをして、3本目のロープの挙動を見ます。

3本目も全く異なる軌跡を描いていて、1箇所も一致しない場合は、このロープも別のトーラスに引っかかっています。以下、続けます。

仮にn本目が外周に沿っていたら、平面内のすべてのトーラスに引っかかるので、このロープに沿って歩き、トーラスの個数を数えればいいのです。

あくまでも運ですが初めの一本目のロープが外周に沿うこともありますし、最大でもトーラスの個数+1本目のロープが外周に沿うので、空間内のトーラスが有限個であると仮定すれば、果てのある作業です。

ところで、有限の面積に無限に多くのトーラスが存在することは可能なのだろうか?
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前回までの考察で、自分のいる平面空間が円なのかトーラスなのか、を区別することは可能だとわかりました。では、平面空間がトーラスであるとして、いくつの穴が空いているのかわかるでしょうか?

以下、「n個の穴のトーラス」をnTと書きます。

まず任意の境界線に沿ってロープを一周してたぐり寄せます。そして別の境界線に沿ってロープを一周してたぐり寄せた時に、一回目のロープと二回目のロープが全く同じように、なおかつ、一つの境界線にぴたりとくっついている時に、そこは1Tの世界です。
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現実世界からイデア世界への写像fを考える。

正三角形とか人間とか、リアル・ワールドの任意の物事rが、イデア世界のそれiに対応つけられる。

f(r)=i

さてリアル・ワールドには「イデア世界」という概念(集合といえそうである)があるのだから、これの写像も考えることができないだろうか?

f(「イデア世界」)=?

すると、この「?」もリアル・ワールドで考えたものだから、f(?)も作れそうだ。
f(f(「イデア世界」))

以下、永遠に続く。
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図を除いて下から4行目、


「s(e)∈Eを辺eの始点、t(e)∈Vを辺eの終点」


「s(e)∈Vを辺eの始点、t(e)∈Vを辺eの終点」

つまり、sはEからVへの写像なのでs(e)はVの要素なのであります。
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これはポアンカレ予想でよく言われる手法を使いましょう。

ある一点に杭をうち、そこからロープを引きながら歩くのです。この平面世界では任意の方向に歩くと必ず境、つまり円周にぶつかるのでそこから円周に沿って一周します。一周したら杭のところまで戻って、ロープを手繰ります。

円周世界ならば、かならずロープを回収できます。トーラス世界だったら、絶対に回収できません。
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e1が二つ書いてあります。

このあとの説明を読むと、e1が右側だったり左側だったりします。

d0164691_20351315.jpg

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平面上に書いたトーラスとはなんでしょうかね? ごくごく単純に、二重丸としてみましょうか。円の中は自由に動けますが、線をまたぐことはできません。外側の円周の外と、内側の円周の中には入れないのです。

この図形の中の存在は、自分の世界が円なのかトーラスなのか、判別できるのでしょうか?
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たとえば、3次元空間に浮かぶ球体の中にいるとします。球体ですから境界がある、有限の空間の中にいるわけです。

この空間が球体なのかトーラスなのか、はたまた別の形状なのかを中にいる存在が判別する方法はあるでしょうか?

ひとつ次元を下げて二次元で考えてみます。紙に書いた円の中に自分がいると仮定して、ある特定の方向に進むと、かならず円周にぶつかります。

ここで、円周は別に円でなくても構わないですよね。紙の上に線で囲まれた領域を作って、その中から出ようとすると線にぶつかるわけです。
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