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<   2016年 06月 ( 30 )   > この月の画像一覧

(1)
S1∧S2↔︎¬(¬S1∨¬S2)
ド・モルガンの定理

(2)
S1∨S2↔︎¬(¬S1∧¬S2)
ド・モルガンの定理

(3)
S1⊃S2↔︎¬(S1∧¬S2)
(今後、⊃を→と書く)

→(ならば)の性質と、ド・モルガンの定理。
A→B↔︎¬A∨B

(4)
S1→S2↔︎¬S1∨S2
→(ならば)の性質

(5)
S1∨S2↔︎¬S1→S2
→(ならば)の性質と、ド・モルガンの定理。

(6)
S1∧S2↔︎¬(S1→¬S2)
→(ならば)の性質と、ド・モルガンの定理。

(7)
(S1∧S2)→S3↔︎S1→(S2→S3)
→(ならば)の性質と、ド・モルガンの定理。

(8)
∀xF↔︎¬(∃x¬F)
*∀と∃の性質

(9)
∃xF↔︎¬(∀x¬F)
∀と∃の性質

*
「すべてのxがFである」を否定するには「あるxはFではない」を示せば良い。
僕が加入しているスタインウェイ会の会報から引用します。引用文中の台数はおそらく新品の販売台数と思われます。

2015年は国内での国産ピアノ販売台数が対前年比で約17%のマイナスに終わりました。

UPが約1万台、GPが3800 台でいずれも10年前の約半分の水準です。

それぞれ最盛期との比較ではUP は1979年比で3/100、GPは1991年比で18/100です。


文中のUPの「最盛期」とは、ピアノブームの異常時なので、あまり参考にはなりません。ですが、21世紀に入って、10年前からも半減していると、数字にも出ています。

2014年と2015年で、マイナス17パーセントですよ。これが、前年度比でプラスになったことは、あるんでしょうかね。

d0164691_928741.jpg

有限の長さの線分でドラゴン曲線を描くとして、複雑さを極限まで追求すると、一点に収束するのではないかしら?

一辺の長さがaである正方形(長方形)を考える。4辺の長さの和を変えずに、長方形をつぶしてゆくと、面積が0になるときに、長さ2aの線分ができる。

一辺の長さがaである正方形(長方形)と、長さ2aの線分を、同値と呼んでみる。

長さ2aの線分でドラゴン曲線を描き、複雑さの極限をとると、一点に収束する。つまり、任意の長さの線分と、一点は同値と言える。

では逆に、平面から立体、4次元立体、n次元立体に拡張することは可能か? たとえば各辺の和を一定にして、体積をn次元でゼロにしてゆけば、n-1次元の図形になる。任意のn次元立体は、一点と同値になる。

適当な思いつきなんだけどこういう幾何学あるかしらん。
まず、3枚で考える。3枚を重ならないように、ぴたりと付けて並べると、それぞれの中心は正三角形になる。

それぞれのコインに、0,1,2と名前を付ける。図では、0コインを赤く塗ってある。コイン3を足し、0,2,3の中心で正三角形を作る。これをくりかえすと、コイン6は、コイン1と接し、0,6,1で正三角形になる。

正三角形の各角は60度なので、それを6こ足すと、360度になるわけだ。

QED

d0164691_143381.jpg

(c)
以上ふたつの結果から、
Aが表現可能→A*が表現可能→Aのゲーデル文が存在する。

数を要素とする、任意の表現可能な集合には、ゲーデル文が存在する。

QED
(b)
A*が表現可能→Aの部分集合が表現可能

H#(n)=T↔︎n∈A↔︎n*n∈A
Aのゲーデル文は
n*n∈A↔︎S(n*n)=T
S(n*n)=En(n)なので、En(n)=H#(n)と解釈できて、
A*が表現可能↔︎H#(n)=T

このEn(n)が、Aのゲーデル文となる。
(a)
Aが表現可能
H(m)=T↔︎m∈A
m=n*nとして、
H(n*n)=T↔︎n*n∈A↔︎n∈A*
H(n*n)=T↔︎H#(n)=T↔︎n∈A*

なので、Aが表現可能ならば、A*も表現可能になる
数を要素とする集合Aに対して、
n∈A↔︎Sn=T

となるなら、SnはAのゲーデル文となる。
(Snは、その指標がnである文)

と定義されているのだが。Aには、ゲーデル文以外の要素も属するのか?

具体例で考えよう。Aを、偶数の集合、nを2とする。

2はAに属するので、文S2が証明可能であれば、S2は偶数の集合のゲーデル文となる。

ある偶数2nを指標とする文S2nが反証可能であれば、S2nはAのゲーデル文ではない。Sxがなにを意味するかは、今のところ問われない。
すべての証明可能な文の指標の集合P0が、述語Hで表現されるとする。H#'=Eαとする。H#'(α)=Tと仮定して、文H#'(α)の指標はα*αであり、

H#'(α)=T↔︎α*α∈P0↔︎H(α*α)=T↔︎H#(α)=T↔︎H#'(α)=F

文H#'(α)は決定不能となる。

すべての反証可能な文の指標の集合R0が、述語Kで表現されるとする。K#'=Eβとする。K#'(β)=Tと仮定して、文K#'(β)の指標はβ*βであり

K#'(β)=T↔︎β*β∉R0↔︎K(β*β)=F↔︎K#(β)=F↔︎K#'(β)=T

文K#'(β)は、決定できる。

K#=Eγとして、
K#(γ)=T↔︎Eγ(γ)=T↔︎γ*γ∉R0
K(γ*γ)=F↔︎K#(γ)=F

文K#(γ)は、決定不能になる。
隔月だから、6月で終わりなんですって。それでもって、更新の案内メールが来ました。

足もと見られているみたいで腹立つω

おいしい、いろいろなビールが定期的に飲めるのは、けっこう楽しかったです。この分だと、更新するでしょう。くやしい。