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カテゴリ:モチーフについて( 1347 )

昨日のところを具体的に書いてみる。

指示子の集合
H={h1,h2,,hi,,}

各指示子の表す数の集合。
h1={1,2}
h2={3,4}
hi={0,9,11}
など各指示子の集合を定義する。

1∈h1なのでh1(1)=T
3∉h1なのでh1(3)=F

h1のG数を5とするとh1=H5となる。h1のゲーデル数5をh1に適用した結果はH5(5)=h1(5)となる。これは文なので真偽とゲーデル数が存在し、H5(5)=h1(5)のG数を5*と記述する。

ここまではいいかな?
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スマリヤン 数理論理学講義(上)P224の学習_d0164691_16584437.jpg

言葉が多くて厄介なので自分なりに噛み砕いて記述します。まずは左ページ(P224)からです。

記号列は「指示子H」と「文S」に分かれる。「文S」は真の文と偽の文に分かれる。数とは0を含む正の整数をいう。

指示子Hは集合と解釈して各指示子をh1,h2,,hi,,と記述する。各指示子は数の集合の名前である。任意の指示子hiと任意の数nに対してhi(n)によって表される文を割り当て、n∈hi↔︎hi(n)=Tと定義する。

各記号列に「ゲーデル数(G数)」を割り当てる。記号列が異なればG数も異なる。nがある文のG数ならばnを「文番号」とよぶ。nをG数とする文を「Sn」で表す。nがある指示子のG数ならばnを「指示子番号」とよぶ。nをG数とする指示子を「Hn」で表す。Hnは指示子なのでなんらかの数jが存在して「Hn=hj」となる。
文Hnをそれ自体のG数に適用した結果のHn(n)をHnの「対角化」という。

それぞれの数nに対してnが指示子番号ならばHnの対角化Hn(n)のG数をn*で表す。

まとめ。
hiとはなんらかの数の集合のこと。
hi(n)は文のこと。文なので真偽が存在する。
n*は文番号、数である。
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ツイッターで見かけた問題に取り組みました。
https://twitter.com/Hyrodium/status/1285918388301119491

放物線と対数関数の交点の接線の傾きを比べればいいのだ。微分なんか忘れちゃったけど、がんばって微分した。
自然対数と放物線は直交している_d0164691_8475133.png


微分して得られる導関数のxに任意の値bを代入すると、もとの関数のbにおける変化率、つまり接線の傾きになる。

なおここではbは0より大きい実数とする。下の関数が直交すればいいのだが、おかしいな直交しない。

y=-2bx
y=(1/b)x

あ、なんだおおもとのグラフ

y=(-x^2)+a

ではなく

y={-(1/2)x^2}+a

ではないか。ならば導関数はdy/dx=xなので下の二つの関数は直交する。

y=-bx
y=(1/b)x

すっきりした。
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次は四元数なんだけど、まずはその代数法則を書き出しておく。

ii=-1
jj=-1
kk=-1
ij=k
jk=i
ki=j
ji=-k
kj=-i
ik=-j

演算表を見るとこれも群をなす。
数体系の基底は群になるか? 2_d0164691_15371336.png

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実数の基底は1で、1は積に関して群をなす。
数体系の基底は群になるか?_d0164691_153350100.png


複素数の基底は1とiで、1とiは積に関して群をなさない。ところが1,-1,i,-iの四つだと、積に関する群をなす。なので実数も1,-1の二つで群をなすことにする。
数体系の基底は群になるか?_d0164691_1535559.png


実数の基底群は複素数の基底群の部分群となっている。
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積を「かつ」和を「または」とする。abcdxyを命題とする。真偽を終域とする論理行列がかける。
論理と行列_d0164691_12492071.png


「行列のスカラー倍」も使える。abcdKを命題とする。
論理と行列_d0164691_1249541.png

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「2*2行列かける縦2行列」は連立方程式を表します。ここでレイヤーをあげて、ax+by=z,cx+dy=wとしましょう。そしてあらためて、zとwを変数とする連立方程式を作ります。
「行列の積」の意味について_d0164691_11575816.png


もういちどレイヤーをあげてz’=ez+fw,w’=gz+hwとします。z=ax+by,w=cx+dyなので、代入します。

「行列の積」の意味について_d0164691_122928.png


さて最後に出てきたxとyの連立方程式ですが、この係数が「2*2行列かける2*2行列」の定義となります。行列の積は合成関数なのですね。ただし行列の積は非可換なので順番に気をつけること。

「行列の積」の意味について_d0164691_1223356.png

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仕事で「投入部材に対するNG品の割りあい」を出したくて試行錯誤をしました。まずは具体的な数値を使って試して、それを公式化したのです。

100個の部材に対してNGが10個でたとすると、NG率は10パーセントです。100/10ででますね。でもNG品が1個(1パーセント)だと、100/1で計算が合いません。なので投入数/NGはだめです。

逆にNG/投入数を計算すると10/100=0.1、1/100=0.01で、良さそうです。これに100をかければパーセントが出ます。

50個投入してNGが1個とすると2パーセントです。(1/50)*100=2、いいですね。

(NG/投入数)*100でパーセントが出ます。
命題論理から「真」「かつ」「ならば」だけをピックアップして、それ以外は使わないようにする体系だそうです。

この世界には否定がないので背理法が使えません。また背理法の前提となる排中律もありません。

実数が複素数の部分集合のように、連言含意論理は命題論理の部分体系なので、連言含意論理でなりたつ論理式は命題論理でも成り立ちます。

この体系は檜山氏の記事で知りましたが調べても他に出てきません。一般にはほかの名前で知られている体系なのかもしれませんね。
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有理数を係数とする方程式f(x)から、いくつかの手順をもちいてf(x)のガロア群Gを定義できる。

f(x)のある解αが有理数でないとして、Qにαを添加した体Q(α)が定義できる。f(x)の係数体は有理数体Qだけれども、Q(α)を係数体としてもかまわない。

Q(α)上の方程式f(x)のガロア群G’はGの部分群になる。体が拡大すると群は縮小する。

僕は今のところ、ガロア理論を上のように理解している。
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