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円周率が無理数である証明

aとbを正の整数として、円周率π=a/bと仮定する。またaとbは既約とする。

オイラーの定理よりe^(iθ)=cosθ+isinθなので、
e^(i(2a/b))=cos(2a/b)+isin(2a/b)=1
対数の定義より
(i2a)/b=ln1=0

ここで、iとbは0ではないのでa=0、そこからa/b=0となり矛盾。

ゆえに円周率πは無理数である。


by tomoarrow | 2021-07-05 07:00 | モチーフについて | Comments(0)