任意の円周の総和
やはりゼロです。
証明
任意の単位円周上の点Pには、点対称の点P’が存在し、足すと0になる。中心が原点である以上、そべての円に当てはまる。
では、単位円の中心を座標(x,y)にずらしてみましょう。すると、この円周上の点は、
x+cosθ+i(y+sinθ)
と書けます。この点には、ちょうど180度反対側の点が対応し、その点は
x-cosθ+i(y-sinθ)
となります。対応する点を足し合わせると、2x+i2yです。そして円周上には無限に多くの点が存在するので、2x+i2yを無限回足し合わせることになり、それは当然ですが、無限大に発散します。