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任意の円周の総和

円周上の各点を複素数とします。単位円の円周の総和は0になります。では、中心を変えずに、半径をかえたらどうでしょうか?

やはりゼロです。

証明
任意の単位円周上の点Pには、点対称の点P’が存在し、足すと0になる。中心が原点である以上、そべての円に当てはまる。

では、単位円の中心を座標(x,y)にずらしてみましょう。すると、この円周上の点は、
x+cosθ+i(y+sinθ)

と書けます。この点には、ちょうど180度反対側の点が対応し、その点は

x-cosθ+i(y-sinθ)

となります。対応する点を足し合わせると、2x+i2yです。そして円周上には無限に多くの点が存在するので、2x+i2yを無限回足し合わせることになり、それは当然ですが、無限大に発散します。
by tomoarrow | 2017-04-22 07:00 | モチーフについて | Comments(0)