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数学的帰納法の応用(おうよう)

(1)

P(0)=T


(2)

任意のnについて、P0からnまでのすべての数について成立するなら、Pn+1について成立する。P(n+1)=T


ここから、すべての自然数についてPが成立することを証明せよ。


ちなみに、自然数は「ゼロと正の整数」と定義する。


0からnまでのすべての自然数でP(n)=Tとなることを、f(n)=Tと定義する。


n=0のときに、0から0までのすべての数で、P(n)=Tとなればいい。P(0)=Tなので、この条件は成立する。

f(0)=T


f(n)=Tであれば、最先端であるnについて、P(n)=Tである。


前提より、f(n)=Tであれば、P(n+1)となる。

f(n)=Tは、上にも書いた通り、P(n)=Tを含意する。ゆえに、下が成り立つ。


[P(0)=T[{f(n)=T}→{P(n)=T}]]→P(n+1)=T


f(n)=T

であれば

P(n+1)=T

となり、これは

f(n+1)

なのだから、数学的帰納法が成立するわけだ。


(表題が適当でごめん)


by tomoarrow | 2016-09-27 07:00 | モチーフについて | Comments(0)