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二つ以上の空集合が存在しない証明

空集合が複数あると仮定して、そこから任意の二つの空集合を取り出し、∅aと∅bと名付ける。


さて、任意の2つの集合ABが同一である、とは、Aの要素がすべてBの要素であり、Bの要素がすべてAの要素であることをいう。


∀x[(x∈A)⟷(x∈B)]


ABが同一でない、とは、上式の否定なので


¬∀x[(x∈A)⟷(x∈B)]


式変形をすると


∃x[{(x∈A)∧(x∉B)}∨{(x∈B)∧(x∉A)}]


さて、ABに∅aと∅bを代入する。


∃x[{(x∈∅a)∧(x∉∅b)}∨{(x∈∅b)∧(x∉∅a)}]


空集合には要素xが存在しないので、上式は成り立たない。ゆえに、仮定「空集合が複数ある」は偽。




by tomoarrow | 2016-09-21 07:00 | モチーフについて | Comments(0)