素因数分解の一意性の証明
A=B*C
A=B*D
であれば
C=D
この証明は簡単だ。両辺をBで割ると、
A/B=C
A/B=D
ゆえに、C=D
Bを素数とすると、
A=B(素数)*C
A=B(素数)*D
ここで、C=Dなので、合成数を同じ素数で割ると、同じ数が商として現れる。
Cについても、同じ議論が成り立つので、
C=E*F
C=E*G
ならば、F=Gなので、Eを素数として
A=B(素数)*E(素数)*F
A=B(素数)*E(素数)*G
F=G
さらに、Fについて同じ議論を繰り返してゆく。
A=B(素数)*E(素数)*F(素数)*H
A=B(素数)*E(素数)*F(素数)*I
ならば、H=I
正の整数は無限に分解できないので、どこかでこの連鎖は止まる。大文字表記のBCD・・をa1,a2・・と書き換えて、
A=a1*a2*・・an
と分解を表記できる。ai=素数であれば、
A=b1*b2*・・bn
であっても、すべてのaiは、なにがしかのblとなる。
これで、証明できたのではないか。