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2の累乗数について

書き出してみます。

2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096

各位の和、の各位の和の・・と一桁になるまで計算すると、下になります。

2
4
8
7
5
1
2
4
8
7
5
1

248751と繰り返されます。これはなぜか? 僕はまだ、結論が出ていません。
by tomoarrow | 2014-06-12 07:00 | モチーフについて | Comments(11)
Commented by 興味深い問題ですね at 2014-06-12 15:11 x
2^0=1とすると繰り返しの列は124875となりますね。n番目は2^(n-1)ということですね。
そして、1が現われるのは、1,7,13,15,,,番目、2が現われるのが2,8,14,20,,,番目と6ずつの周期になっているわけですから、何かヒントがありそうでいて難しいですね。
このアルゴリズムだと1になるときは足した結果が最後に必ず10となってそして1となるようですね。(1番目以外) ここにもなにかヒントがありそうなんですが・・・。
Commented by tomoarrow at 2014-06-12 20:10
いっそのこと124875という数列の階差をとってみると・・

1 2 4 9 7 (mod10)
その階差
1 2 5 8 (mod10)
その階差
1 3 3

だめだなあ
Commented by 御光堂 at 2014-06-12 20:40 x
今、この124875を125(5^3)で割ると999になることに気付きました。この値も何か意味あり気ですね。
Commented by tomoarrow at 2014-06-12 20:55
やっぱり、今までのコメントも御光堂さんでした?

この元ネタは、ロシアの学童向けの「柔らかい思考を育てる数学問題集」ですから、数論では既知の問題だと思います。
Commented by 御光堂 at 2014-06-12 21:27 x
名前欄にタイトルを書いてましたがそうですね。
ちゃんと答えの出ている問題なんですね。学童向けということは複雑な理論を使わなくてもちょっとした発想の転換があればすんなり解けてしまうような問題なんでしょうね。自分はもう考える根気がないので答えが知りたくなりました。
Commented by tomoarrow at 2014-06-12 21:50
もともとの問題は、

「2の100乗の各位の和、の各位の和の・・と一桁になるまで計算すると、その数はなにか?」

なんですよ。その解法を考えていたら、ひと桁の数がループすることに気がつきました。

ですから、この記事の解答は、わからないのです・・
Commented by 御光堂 at 2014-06-13 17:20 x
完全な答えではないかもしれませんが何となく分かったような気がします。
このアルゴリズムが6周期ごとに繰り返されるということは2^6=64を掛けた場合も変わらないということなので、たとえば任意の2^x=a*10+bでa+b=cとします。すると64倍して64*2^x=64*a*10+64*bとなり、係数を足すと64*a+64*bとなりこれは、6*a*10+4*a+6*b*10+4*bなので、さらに6*a+4*a+6*b+4*bとなって(6+4)*(a+b)=10*(a+b)であり、a+b=cの部分が10倍されているだけだから結局cと変わらないということになります。
これをもう少し一般の場合にもうまく言えればいいのではないかと思われます。
ただこの考えだと実際の係数と合わないという点がネックなんですよね。
Commented by tomoarrow at 2014-06-14 08:14
ふむふむ、6+4=10だから、ということですね。

a1*(10^n)+a2*(10^(n-1))・・・+an(10^(n-n))

と書いたらどうかな、とおもったけど、まだ確かめていません。あとでやってみます。
Commented by tomoarrow at 2014-06-14 16:44

わかったわかった。御光堂さんの言うとおりでしたよ。長くなるから下のツイートを読んでください。

https://twitter.com/kinshati/status/477714869135761408
Commented by 御光堂 at 2014-06-14 17:49 x
議論を負うのがちょっと大変でしたけれども、解決できてよかったですね。途中の係数とか一々考えなくても良かったわけですね。
Commented by tomoarrow at 2014-06-15 18:27
この問題は、御光堂さんが解決したようなものです。ぼくはそれを少し進めただけ。