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解題「至福の超現実数」 11

推移律について。

x≤y かつ y≤z ならば x≤z を証明したい。背理法を使います。

x=(XL,XR)≤y=(YL,YR) かつ y=(YL,YR)≤z=(ZL,ZR) かつ x=(XL,XR)≰z=(ZL,ZR)


まえの2つはさんざんやったので、最後の x≨z をやります。x≨z は x≤z の否定です。

x≤z = XL≱z かつ x≱YR

上記のどちらかが成り立たないこと。つまり、XL≤z または x≤YR のどちらかが成り立つことと同じです。

XL≤z = (XL)L≱z かつ XL≱ZR
x≤YR = XL≱YR かつ x≱(YR)R

ここで、上記の不等式に出てきたXL≩ZRについて、同じことをおこないましょう。

XL≱ZR は XL≤ZR の否定です。つまり (XL)L≱ZR かつ XL≱(ZR)R

このまま、永遠に続きます。ところが、数は、前に作られた古い数から作られます。無限にさかのぼることはできないのです。

ですから、この記事を順番にさかのぼって、一番上の"x≤y かつ y≤z ならば x≤z "が証明できました。
by tomoarrow | 2013-07-01 07:00 | モチーフについて | Comments(0)