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(改訂)原点を中心とする半径が√2の円は、有理点をもつか?

この記事は検算をして、加筆してあります。具体的には、x^2+y^2=2 の円周上に、(1,1)という有理点が存在するのです。前半は原型のままですが、後半に加筆部分があります。

有理点とは、x、y座標ともに、有理数となる点のことです。「数学ガール」には、単位円に有理点が無限にあるか? という問題がありました。

今回は、これを、原点を中心とする√2の円で試してみます。
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tはy軸上を上下に移動します。Qはtに対応して、一意に決まります。そして、直線lの傾きはt/√2です。

l:y=t/√2x+t
円:x^2+y^2=2

この連立方程式を解けば、Qの座標が分かります。
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すると、こうなりました。tにゼロを代入すると、x座標が、無理数。有理数を代入すると、√2が残って無理数。√2を代入しても、あるいは他の無理数を代入しても同様。

結論として、この円周上に有理点は存在しない。

ちなみに、同じ論法で、原点を中心とする√3の円にも、有理点が一つも存在しないことが分かります。

前半ここまで

検算の結果

検算をするまでもなく、グラフを見れば一目瞭然。この円周上には有理点(1,1)(-1,1)(1,-1)(-1,-1)がありました。それで、これが、僕の論法で出てくるのかを、計算してみました。長いので、紙をスキャンしたものをそのまま載せますが、たしかに(1,1)が出てきます。

なにが「この円周上に有理点は存在しない。」だ。大ウソです。

xとyを表すtの式が有理数だけでできていたら、「tに有理数を入れたらx,yは有理数」と言えるでしょう。でも、無理数を含む文字式に無理数を代入したときに、結果が無理数に限定されるわけではないのですね。身をもって知りました。反省しています。

ネットで検索したところ、円周上の有理点の個数は、零個か1個か2個か無限個だそうです。ですから、原点中心の半径が√2の円周上には、最低4つの有理点が確認できるので、無限に多くの有理点があることになります。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1232613647

また、原点中心の半径が√3の円周上には、ただのひとつも有理点はない、は正しいようです。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1085881380

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by tomoarrow | 2013-05-02 07:00 | モチーフについて | Comments(0)