人気ブログランキング |

復素平面と球 2

先日の続きです。球の表面にしるしを付けると、それは復素平面に投影されます。球の任意の点は、復素平面の一点と対応しているので、球と平面は等価と言えます。

南半球の点は、単位円の内側、つまり絶対値が1以下です。同様に北半球は絶対値が1以上の複素数に対応します。

南半球では、南極に近づくにつれて、投影される影は原点に近づきます。逆に、北半球では北極に近づくと、影は原点から遥かに離れた位置に落ちます。
by tomoarrow | 2013-02-14 07:00 | モチーフについて | Comments(4)
Commented by たんぽぽ at 2013-02-14 21:59 x
複素数を球で表わすと、複素平面全体に無限遠点を加えた
集合を考えるときに便利です。

複素平面の無限遠点は、もちろん球面の北極点。
Commented by tomoarrow at 2013-02-15 07:22
北極の影は、真下の原点に落ちるのではないのでしょうか? そう思って、アニメを作って、記事を書いたのですが・・

なんか間違ったかな?
Commented by たんぽぽ at 2013-02-15 22:16 x
複素平面の原点に対応するのは、球面の南極ですね。
北極も原点に対応しちゃったら、一対一対応にならないですよ。

北極に対応する点を求めようとして線を引くと、
北極を通る接線になるけれど、これは複素平面と平行だから、
平面上のどこにもぶつからないことになります。
Commented by tomoarrow at 2013-02-15 22:31
・・あ、なるほど。僕は、北極点の直上から光を当てて考えていたんです。極点が光源なら、極点の影は真下には落ちない。

とすると、記事に訂正を入れる必要があるなあ。