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関数の極限 εδ論法

先日、三回にわたって数列の極限を掲載しました。今回は関数の極限です。

lim x→a f(x)=A
∀ε > 0 [ ∃δ > 0 [ ∀x [ 0 < |a-x| < δ⇒|A-f(x)| < ε ]]]

どんな正の数εに対しても、
∀ε > 0 [

ある正の数δが存在して
∀ε > 0 [ ∃δ > 0 [

どんなxに対しても・・・が成り立つ
∀ε > 0 [ ∃δ > 0 [ ∀x [・・・

・・・は
[ 0 < |a-x| < δ⇒|A-f(x)| < ε ]

さて、
0 < |a-x| < δ
なので、「aとxの距離は、0より大きく、デルタより小さい」となります。 あるいは「aとxは重ならないし、二点間の距離はδ以上にはならない」「xはaのδ近傍にある(でも二点は重ならない)」。

ということで、
0 < |a-x| < δ⇒|A-f(x)| < ε
を言語化すると、

《x≠aであるxがaのδ近傍にあるならば、f(x)はAのε近傍にある》


となります。また、「数学ガール ゲーデルの不完全性定理」から、画像を引用しておきます。じつに分かりやすい。

d0164691_15222794.jpg

by tomoarrow | 2012-11-12 07:00 | モチーフについて | Comments(2)
Commented by 御光堂 at 2012-11-14 17:54 x
関数の連続にも「各点連続」と「一様連続」があってその違いが今一つグラフィカルにピンと来なかったりするんですよね。
Commented by tomoarrow at 2012-11-15 10:59
数学強者がそういうこと言わないω

僕も検索してみましたが、なんのことかよくわかりませんでした・・