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極限 2

昨日の続きです。

∀ε > 0 [ ∃N [ ∀n[N < n⇒|A-a(n)| < ε]]]
「どんな正の数εに対しても、εごとにある自然数Nを適切に選べば、どんな自然数nに対しても[N < n⇒|A-a(n)| < ε]を成り立たせることができる」

これを、さらにくわしくみてゆきます。
Aは、極限値。
a(n)は、数列《 a(n) 》の第n項。
そして、|A-a(n)|は、数直線上で点Aと点a(n)の距離です。絶対値なので、点a(n)が点Aの右なのか、左なのか問いません。どちらでもかまわない。

そして、|A-a(n)| < ε「つまり二点間の距離がεより小さい」ので、点a(n)は、Aから+-εの範囲しか動けない。この範囲は、Aのε近傍と名前がついています。

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さて、次はN < n⇒|A-a(n)| < εです。意味は「Nがnより大きいなら、a(n)はAのε近傍にある」ですね。nの大きさと、Aとa(n)の距離の関係を述べているのです。

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画像は、「数学ガール ゲーデルの不完全性定理」結城浩(ソフトバンククリエイティブ)より引用しました。

続きます
by tomoarrow | 2012-11-10 07:00 | モチーフについて | Comments(2)
Commented by 御光堂 at 2012-11-10 09:16 x
これは、イプシロンデルタ論法といわれるものの変形みたいな?
Commented by tomoarrow at 2012-11-10 10:25
そうそう。イプシロンデルタ論法は、関数の極限に使われるものらしいですね。今回は数列の極限なので、このようなかたちになります。

イプシロンデルタ論法は、12日の当ブログに掲載予定です。