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図の下の式は、αであるべきところがσになっています。


σ(σ)=β=α^2-2


σ(α)=β=α^2-2
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線形の定義は

1.
f(x+y)=f(x)+f(y)

2.
f(kx)=kf(x)
ただしkは定数

σは条件1を満たす。x=a+ζb、y=c+ζdとして直接確かめられる。

σは条件2も満たす。これもx=a+ζbとして、
σ(kx)を計算すれば、簡単に確かめられる。

ゆえに、共役写像は線形である。
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非平方数の平方根と、虚数単位iは、自乗すると整数になる点が同じだ。

σ(a+ζb)=a-ζb

と定義する。このσはσ(σ(a+ζb))=a+ζbとなる。論理でいう、否定を2回重ねたものに似ている。

ζを虚数単位と考えると、写像σは共役複素数を求める関数となる。以下、ζの定義は冒頭の画像のままにするけど、σのなす写像を共役と呼称する。
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r(cosθ+isinθ)

ここでrは絶対値なんだけど、r=(a+ib)という複素数にしたらいけないのか?

考える。

f(θ)=(a+ib)(cosθ+isinθ)

という関数の表す図表を知りたいのだ。
分けて考えてみる。

(a+ib)(cosθ+isinθ)=a(cosθ+isinθ)+ib(cosθ+isinθ)

と展開できて、a(cosθ+isinθ)は、aが正ならそのまま、半径aの円。aが負でも、起点がaになるだけで、描くのは半径aの円。

ib(cosθ+isinθ)も同様に、bが正ならば起点がibである、半径bの円。bが負でも起点がibである、半径bの円。

c(cosθ+isinθ)
は、起点がcである半径がaの円。

ただし、cは実軸か虚軸上の点。

簡単のために(2+i3)(cosθ+isinθ)を座標上に書いてみたら、|2+i3|(cosθ+isinθ)になりそうだ。

複素数の定数Cに対して、

C+(a+ib)(cosθ+isinθ)

は、Cを中心とする半径|a+ib|の円になりそうだ。
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「トーラス上の幾何学8」をふまえて、いちど問題を整理しておきます。今後進みたい道を示すことでもあります。

「シンメトリーの地図帳」の例によれば、原点と任意の格子点をつないだ直線は、(原点を含めて)7つの格子点を通り、8つ目で原点に帰ってきます。

7つの点に0,1,2,3,4,5,6,7と名付けます。0-1から初めた直線(線分)が0,1,2,3,4,5,6,7の順に格子点を巡るとしましょうか。

つぎに、2-4から直線を引くと、この直線も順番は異なりますが0,1,2,3,4,5,6,7すべての格子点をめぐり、2に戻ってくるというのです。

3-5から始めても同様です。つまり、{0,1,2,3,4,5,6,7}に属する任意の2つの格子点から直線を引いたときに、全部の点を一度ずつ通り始点にもどります。

なぜなのか? 証明できるのか?

これが、つぎの問題です。
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いままで何回かにわたり、数論の問題を解いてきました。いよいよ前半の佳境です。

Pを素数、qを2以上でP未満の整数とします。すると、q,2q,3q,,,Pqは、modPで全て異なります。これは前回までに証明したことです。

0からP-1までの有限の平面座標の任意の座標を、横の行列で表記します。(a,b)この要素をPと素の整数(つまり、1以上P-1以下)に制限しましょう。

x座標はa,2a,3a,,,Paと、全て異なります。Y座標も仕組みは同じなので、b,2b,3b,,,Pbと全て異なります。

行列で書くと、下ですね。そしてP(a,b)=(0,0)となります。

(a,b),2(a,b),3(a,b),,P(a,b)

ということで、P-1平方の座標平面をトーラスとみなすと、Pと素であるa,bを要素とするベクトルの正の整数倍は、すべてのx座標、すべてのy座標を通り(0,0)に戻ってくるのです。
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