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「13歳の娘に語るガロアの数学」P140から、剰余類(コセット)が説明されています。ここで説明されているSとは、縦棒が3本のあみだくじの結果は、全部で6通り。その全6通りの構造の集合です。

さて、本文ではσBとβBが出てきますが、僕は残りのγBと(σ^2)Bも検算してみました。さらに、CとDについても、同じく確かめました。

σB={σ γ}
βB={β σ^2}
γB={γ σ}
(σ^2)B={σ^2 β}

集合で考えると、σB=γB、βB=(σ^2)Bとなります。同様に、

σC={σ α}
αC={α σ}
γC={γ σ^2}
(σ^2)C={σ^2 γ}

これも、二つづつ組になりますね。

σD={σ β}
αD={α σ^2}
βD={β σ}
(σ^2)D={σ^2 α}

これも組みになります
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「13歳の娘に語るアルキメデスの無限小」P199ですが、半角公式のミスプリです。著者の金重明さんに確認しました。

d0164691_21121572.jpg

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図17のあみだくじの結果は「4321」です。
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問2
それぞれのパーツを半分にして、合計8本でフラフープを組む。ただし同じ色が続いてはいけない。また、同じ順番の4色を二度繰り返すこと。

不可
赤青黄緑 青赤緑黄


赤青黄緑 赤青黄緑

この条件で、3つの異なる順番のフラフープが組めるか?

円周だと思ってください。

赤 青 黄 緑
緑 黄 青 赤

赤 青 緑 黄
黄 緑 青 赤

赤 緑 青 黄
黄 青 緑 赤

3パターン作れるな。

n色のパーツから、異なるmパターンが作れるか? という疑問を思いついたんだけど、これはいわゆる「円順列」かな?
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4色からなるフラフープを、ことなる3種の順番で組み立てることができるか?

(1)
 赤
青 黄
 緑

(2)
 赤
緑 黄
 青

二つはできる。(3)では、赤の両側が、(1)と(2)以外の組み合わせでないといけない。

赤の両側が決まれば、自然と一番下も決まる。赤を除いた残りの色は3色なので、3色から2色を選ぶ組み合わせは3パターン。

(3)
 赤
青 緑
 黄

これができる。ほお、3つできるんだ。赤の対岸で考えてもいいですね。
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x軸上の-1から1までの任意の点は、単位円の二点に対応します。

x軸上の-1から1までの任意の点は、タンジェント曲線を考えると、ある実数に対応します。

つまり、単位円周上の任意の点は、ある実数に対応するのです。表題の疑問のこたえは「非可算無限」です。
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円周上の一点を、それぞれベクトルとみなす。そして全てのベクトルの総和をとるとする。

任意の一点xには、和が0となるx’が存在する。具体的には180度対称の一点のこと。なので、円周の総和はゼロ。
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証明には、ガウスによる1からnまでの正整数の総和と同じ方法を使う。

当該区間には、任意の有理数xには、足して1になる有理数x’が存在する。

x+x’=1

xもx’も、可算無限個存在するので、総和は無限大に発散する。この論法では、有理数を実数に置き換えても総和が発散する結論は変わらない。

ところで、発散した結果の無限大は、可算無限と非可算無限と、区別がつくのだろうか?
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n=1は除外します。

nが偶数の時には、この仮定は成り立ちます。1のn乗根は単位円上に、(1+i0)を起点として、偏角が2π/nの間隔で並びます。

すると、nが偶数の時には、任意の値には180度正反対の対になる値が存在し、二つの複素数の和は0になります。

問題はnが奇数の時なのです、が。
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SFマガジン2017/02

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「13歳の娘に語るガロアの数学」
金重明
岩波書店

読み
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「13歳の娘に語るアルキメデスの無限小」
金重明
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