タグ:数の博物誌 ( 32 ) タグの人気記事

12月から続けてきた数学マラソンも、今日でおしまいです。とは言っても、これから素数や黄金比についての記事を用意してあるのですが。

冒頭だけ書いて、根気がくじけた記事がいくつかあるので、それを公開して、数学特集を終わりにします。ではみなさん、アディオス!

作図で求められる、nのx乗根とは?

作図とは数学で言う、定規とコンパスを指します。複素数平面を使って、はたして何の何乗根が得られるのでしょうか? その条件を考えます。

最近の当ブログを読んでくれた方はお分かりでしょうが、nのx乗根は円周上に、均等に並びます。どんな円周上かは、条件によって違いますが。

ですから、今回の問いは、

必要な円の半径を導けるのか?
必要な角度を書けるか?

この二点に還元されます。

フィボナッチ数列について 2

「数学ガール」でも、フィボナッチ数列の一般項を求める章がありました。√が多用された、複雑怪奇な数式なんですよね。

先日「数列を考えてみる」の記事で、等比数列{1.2.4.8.16・・}の階差数列が、もとの数列と同じになることを書きました。フィボナッチ数列の階差数列も、フィボナッチ数列になります。


パスカルの三角形

整数論ではよく出てくるのかな? 上の数字を足し合わせた数字を書いてゆくものです。

これにはフィボナッチ数列が内在しています。


[PR]
先日は、奇数の自乗が奇数になることを証明しました。今回は奇数のn乗です。

任意の奇数mは、ある整数kを利用して2k+1と書けます。

m^1=2k+1 (奇数)
m^2=(2k+1)*m=2km+m (偶数+奇数=奇数)
m^3=(2km+m)*m=2kmm+m^2 (偶数+奇数=奇数)
m^4=(2kmm+m^2)*m=2kmmm+m^3 (偶数+奇数=奇数)

数列のように、一般項を書き出してみましょう。

an=2k(m^(n-1))+m^(n-1) (ただしn>0)

では偶数のn乗はどうなるのか? これは偶数になります。自明。

*奇数を素因数分解しても、2はでてきません。ですから、奇数を何回かけても、偶数にはならない、というシンプルな解法を、ツイッターで聞きました。その手があったか!
[PR]
ある奇数mを考えてみてください。mの自乗はmをm回足し合わせたものです。

m(1)+m(2)+m(3)+・・+m(m)


このmは奇数なので、2n+1(nは自然数)、と書けます。

m(1)+m(2)=偶数
m(3)+m(4)=偶数



m(2n-1)+m(2n)=偶数
m=奇数


mを二個足した偶数は、すべてひとまとめにしても、偶数です。そこに奇数が足されるので、合計は奇数になります。

では、偶数の自乗はどうでしょうか。同じ論法を使いますが、偶数は何回足しても、偶数なのですね。

ある偶数rを自乗すると、

r+r+r+・・+r


偶数を足しているだけなので、つまりは偶数。偶数の自乗は偶数。

今回の結論
奇数の自乗は奇数
偶数の自乗は偶数
[PR]
昨日の続き。

三平方の定理は、標題のとおり円の方程式でもあります。

a^2+b^2=c^2

このaとbを、xyに置き換えると、半径cの円の方程式です。

x^2+y^2=c^2

そして、もうひとつ軸を付け加えると、球の方程式になります。

x^2+y^2+z^2=c^2

中心から同距離にある点の集合。それが平面であれば、円になり、空間ならば球になります。では、もっと高次元ではどうか? というのが、多様体だそうです(自信なし)
[PR]
a^2+b^2=c^2

というあれです。a⟘bの直角三角形で、斜辺cを求めるときに使いますね。

じつはこの式は、平面でなくても成り立ちます。数直線上で、0から1までの距離を測りたい、としましょう。

まあごく普通に、1です。でもこれを、(1^2)^(1/2) と考えることもできます。

次は、立方体の中を斜めに突っ切る斜辺の長さを知りたい、と思ってください。軸で書きましょうか。

x=1
y=1
z=1


の立方体です。まず、xy座標の斜辺を出します。

(x^2+y^2)^(1/2)


次は、上式とzの斜辺、つまり求めたい斜辺そのものです。

((xy座標の斜辺)^2+z^2)^(1/2)
=(((x^2+y^2)^(1/2))^2+z^2)^(1/2)
=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)
=斜辺


直角の要素を、それぞれ自乗して足すと、斜辺の自乗になりました。へえ。
[PR]
「すべての複素数は、ある実数の実数乗根である」

昨日のグラフを、もう一度みて下さい。(1+2i)からはじまった乗数の曲線は、いづれx軸、(実数軸)と交差します。そこが、「ある実数」です。

そして(1+2i)から始まる曲線がたどった道筋、これが「実数乗根」の、具体的な数値になります。

虚数要素を持った複素数は、自乗すると平面を動きます。それが実数軸に交わるまでに、何乗されたか? という問題です。

この記事は、あっているでしょうかね? 自分で思いついたことを書くのは、不安ですω
[PR]
(1+2i)を、複素数平面でどんどん掛けてゆくとします。

(1+2i)
(-3+4i)
(-11-2i)
(-7-24i)
(37-36i)
(109+38i)

このように変化してゆきます。そしてこれを複素数平面に表すと、下のグラフのように、反時計回りに螺旋を書いて、展開してゆきます。

そこで僕は思ったのです。上記の複素数は、(1+2i)の整数乗です。これを実数乗の連続したグラフにしたら、きれいな螺旋がかけるのではないか?

そういう関数は、どうやったらいいのでしょうかねえ。実数をx、虚数をyの成分にして(ぶつぶつ)

d0164691_819775.jpg

[PR]


複素平面の原点、に一辺が1の立方体を置いたとします。これを上からつぶしてゆきます。高さが減ったぶんを、縦横が均等に広がるものとします。

高さが半分、つまり1/2になると、タテヨコは√2、1/4の時にタテヨコは2、という具合に、どんどん広がってゆきます。

数には大きさがないので、複素平面から1mmも1ナノメートルも1原子分も1ヒッグス粒子分も突き出していません。複素平面は完全に平らです。

ですから、無限に薄くなりながら広がってゆく、体積1の直方体で、覆えることになります。そしてそれは、いつもの論法なのですが、体積0.1からはじめても、体積1陽子からはじめても、同じなのですね。

なお、この直方体で覆える面積を計算してみました。

タテ*ヨコ=1

なんだ、なんてことはない、二次関数ではないですか。

f(x)=x^2-1 (x>1)
[PR]
昨日の続き。なんのことはない。円を描くのに使った関数を利用すればいいのですね。

r=2^1/2

2の2乗根の円を描くのには、この式を使いました。これをyの式にして、1/2ではなく、1/xにします。

y=2^1/x

この関数グラフは、これです。
d0164691_10313052.jpg


次は、式の2を、1と1/2にもしてみました。
y=1^1/x
d0164691_10315112.jpg

y=(1/2)^1/x
d0164691_1032387.jpg

こうすると、0近辺ではそれぞれ違う曲線ですが、1に近づいてゆくのが分かります。

lim x→∞ 1/x は、1/∞ ですから、0

nの0乗は1なので、当然と言えば当然でした。

d0164691_10322431.jpg

[PR]
この書き方でいいのでしょうか。標題にいまひとつ自信がありません。

nのx乗根は、複素数平面に同心円上に並びます。それを、極限まで追求したら、どなるのでしょうか。

原点を中心とする円を、いくつも書いてみました。いちばん外側が、2の1乗根。そこからだんだんと、乗数をあげてゆきます。乗数が上がるほど、円が小さくなる小さくなり方が、ゆっくりになってゆきます。

これを関数で表すにはどうしたものか?

d0164691_10212754.jpg

[PR]