そろそろ二週間になりますがスクワットしています。30回やるとぜーぜー息が上がります。

けっこうたのしい。
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前回の考察で、トーラス上の幾何学は合同式と似ていることがわかりました。|2|の場合をもっと詳しく見てみます。

|2|*1合同2 (mod5)
|2|*2合同4 (mod5)
|2|*3合同1 (mod5)
|2|*4合同3 (mod5)
|2|*5合同0 (mod5)

|2|をいくつか掛けたときに、0から4までの数と合同になります。同様に、|3|も|4|も、みな0から4までの数と合同になります。そして当然ですが、|2|*6は|2|*1と合同です。

一般の素数pの場合、P未満の正の整数で、同じことが成り立つ定理があったと思いますが、思い出せません。証明できるか?
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簡単にするために、まずはx座標(あるいは、x成分)のみで考えます。格子点だけからなる有限の数直線を、いくつも並べたものです。

さて今回は原点を含めて5つの格子点からなる数直線を並べました。(1)

そこに、長さが2、3、4の線分を重ねて、並べて行きます(赤い字で書きました)。(2)

すると、長さ2の線分(以下|2|と書きます。他の数字も同様)は3つ並べると、1の位置で止まり、5つならべると原点で止まります。

|3|は2つ並べると1、5つ並べると原点。これは合同式でかけますね。

|2|*3合同1 (mod5)
|2|*5合同0 (mod5)

|3|*2合同1 (mod5)
|3|*5合同0 (mod5)

|4|*4合同1 (mod5)
|4|*5合同0 (mod5)

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