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期限は11月なんですが、案内の封書が届いたので、さっさと電話して更新契約を済ませました。内容は同じなんですが、月々の支払いが1000円安くなった。


あと、今までは口座引き落としだったのを、カード払いに変更しました。どうせカードも同じ口座から落ちるんだ。




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{x(f(x)=T)}→{y(f(y)=T)}

(ただし、xyは、ともに正の整数とする)


すべてのxf(x)を満たすならば、あるyが存在しf(y)を満たす。


タブロー法で、上式はトートロジーであることが分かった。


「すべての正整数がfを満たすなら、ある正整数yが存在してyfを満たす」当たり前だね。




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Pは次の条件を満たす性質であるとする


(1)

任意のnについて、Pnよりも小さいすべての数について成立するならば、Pnについて成立する。


Pはすべての自然数について成立するか?

x

条件より、

P(0)=T


P(0)=Tなので、P(1)=T


このまま延々と続けれそうだけど、もっと数学的帰納法らしく証明する。


f(n)=Tを、「0から(n-1)まで、Pが成立する」と定義する。条件より


{f(n)=T}→{P(n)=T}


さらに連鎖して、


[{f(n)=T}→{P(n)=T}]→f(n+1)=T


このまま、カッコを層にして、ずっと続けられる。


QED




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(1)

P(0)=T


(2)

任意のnについて、P0からnまでのすべての数について成立するなら、Pn+1について成立する。P(n+1)=T


ここから、すべての自然数についてPが成立することを証明せよ。


ちなみに、自然数は「ゼロと正の整数」と定義する。


0からnまでのすべての自然数でP(n)=Tとなることを、f(n)=Tと定義する。


n=0のときに、0から0までのすべての数で、P(n)=Tとなればいい。P(0)=Tなので、この条件は成立する。

f(0)=T


f(n)=Tであれば、最先端であるnについて、P(n)=Tである。


前提より、f(n)=Tであれば、P(n+1)となる。

f(n)=Tは、上にも書いた通り、P(n)=Tを含意する。ゆえに、下が成り立つ。


[P(0)=T[{f(n)=T}→{P(n)=T}]]→P(n+1)=T


f(n)=T

であれば

P(n+1)=T

となり、これは

f(n+1)

なのだから、数学的帰納法が成立するわけだ。


(表題が適当でごめん)


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読み

「スマリヤン記号論理学」

丸善


9/4

「神は沈黙せず」

山本弘


9/10

「無限論の教室」

野矢茂樹


買い

8/30

SFマガジン2016/10

早川書房


「映画で読みとく「都市伝説」」

ASIOS

洋泉社


「感性の限界」

高橋昌一朗

講談社現代新書




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ex)

全整数の集合から、0を取り去ったら、残りは可算無限集合である。


全実数の集合から全無理数の集合を取り去ったら、残りは全有理数の集合で可算である。


「全実数のべき集合」には、「全実数の集合」が属する。

R∈PR


「全実数の集合」は「全有理数の集合」と全無理数の集合からなる。

R=Q∪全無理数の集合

可算無限集合の濃度は全整数の集合の濃度と同じなので、前段の議論は一般にすべてなりたつ。


QED




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じつは会社で、いまだにXPを使っています。ネットには繋がっていないので、いいのです。GIMP専用機です。


GIMPに使うだけだから、OSなんかなんでもいいんだけど、XPのインターフェイスに飽きたのです。なので、ちょうど自宅に古いLinuxのインストールDVDがあるので、それを使って見栄えを刷新しようと、気まぐれに思いついたですよ。


お金もないけど根気もなくて、XPパソコンに入っっているかもしれない重要データのバックアップがめんどくさい。なので、新たにSSDを買いました。120ギガで5000円ですよ。


以上。



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正整数を並べて、数列Pnをつくる。正整数が要素なので、数列Pnは無限に作ることができる。


nは、作った数列を並べた番号なので、正整数となる。pnを数列の要素とする。


pnPnに属さないpnだけを集めた数列、Pxを仮定する。さてpxPxに属するのか属しないのか?


x[(pnPn)↔︎(pnPx)]


数列Pnの集合が、ありとあらゆる正整数の数列を可能にするなら、Pxも作れる。ところが原理的に、Pxは作れない。なので、Pnで表現できない数列が存在する。



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ABを任意の集合、xを要素として、「AがBの部分集合である」の定義を論理式で書くと


∀x[(x∈A)→(x∈B)]


「ならば」を書き換えると


∀x[(x∉A)∨(x∈B)]


Aに空集合を代入する


∀x[(x∉∅)∨(x∈B)]


この論理式は「∅が任意の集合Bの部分集合である」を意味している。任意の要素xは∅に属さないので、上式は真である。


QED




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空集合が複数あると仮定して、そこから任意の二つの空集合を取り出し、∅aと∅bと名付ける。


さて、任意の2つの集合ABが同一である、とは、Aの要素がすべてBの要素であり、Bの要素がすべてAの要素であることをいう。


∀x[(x∈A)⟷(x∈B)]


ABが同一でない、とは、上式の否定なので


¬∀x[(x∈A)⟷(x∈B)]


式変形をすると


∃x[{(x∈A)∧(x∉B)}∨{(x∈B)∧(x∉A)}]


さて、ABに∅aと∅bを代入する。


∃x[{(x∈∅a)∧(x∉∅b)}∨{(x∈∅b)∧(x∉∅a)}]


空集合には要素xが存在しないので、上式は成り立たない。ゆえに、仮定「空集合が複数ある」は偽。




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