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3進数と同じ論法で、n進数も証明できます。n進数の下一桁mが
0<=m であるとき、下一桁の偶奇は逆転します。下一桁がn-1であるとき、繰り上がり、同じ議論が下二桁で繰り返されます。

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昨日の記事を、さらに一般化します。とは言っても、なにか具体例がないと分かりにくいですよね。4進数を並べてみましょう。(上段は10進数)

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4進数の下ひと桁の偶奇が、10進数の偶奇と一致しそうです。これは下2桁より上を考えるとわかります。4進数の下2桁より上は、4^p(p>0)の和なので、必ず偶数です。ですから、下ひと桁の数が、偶奇を決定します。

同じ論法で、nが偶数のとき、n進数の下ひと桁の数と、全体の偶奇は一致します。
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まず、10進数と3進数を並列で見てみます。上の段が10進数、下段が3進数です。

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3進数の各桁を足した和が、10進数の偶奇に一致しそうです。

10進数で9までは確認できているので、mまで確認できていると、仮定しましょう(数学的帰納法)。

mの下ひと桁が0であれば、m+1の下ひと桁は1になり、各桁の和の偶奇は逆転します。
mの下ひと桁が1であれば、m+1の下ひと桁は2になり、各桁の和の偶奇は逆転します。

mの下ひと桁が2であれば、m+1の下ひと桁は0になり、下ひと桁の偶奇は変わりません。しかし下二桁に繰り上がるため、下二桁が+1となり、同じ議論が繰り返されます。

どこかの桁が0か1であれば、そこでとまります。3進数が2222・・22であれば、1を足すと10000・・00になるので、偶奇は逆転します。

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2015年の5/23に、伊豆半島ツーリングに行ってきました。僕の自宅からは日帰りです。

「伊豆マリンタウン」で昼食をとり、その後、「伊豆高原旅の駅ぐらんぱるぽーと」で足湯につかり、サボテン公園の入り口まで行って大室山を見て、一碧湖を眺めて帰ってきました。

さらっと書きましたが、実際、国道を通って簡単に行き来できる行程なのです。そのうち伊豆半島を一周したいですね。さすがに泊らないとつらいかな。

大室山の全景です。

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これを見ていると、トリシティのカラーリングが、製品版と異なっています。ビデオ版の方がレトロフューチャーっぽいですね。

見比べるために、画像を貼っておきましょう。右がコンセプトビデオのスクリーンショット。左は公式サイトの製品版画像です。製品版の写真は左右を反転させてあるので、マフラーが映り込んでいます。

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これも、数学的帰納法でいきましょう。
n=1のとき、1*2*3/6=3C3=1
n=nで成り立つと仮定して、n=n+1では、
d0164691_14394967.png


ここで
(1/6)(n^3+3n^2+2n+[3n^2+9n+6])の、(1/6)[3n^2+9n+6]部分が、(n+2)C2に一致するか、確かめます。

n=1のとき、
(1/6)[3n^2+9n+6]=(n+2)C1=3
n=nで成り立つとして、n=n+1では、

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数学的帰納法で証明します。

n=1のとき、両辺は1です。n=nで成り立つと仮定して、n=n+1とすると、

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数式エディタで分かりやすく書き直したのが、下記の画像です。

d0164691_11584492.png


さてこれは、常に成り立つでしょうか? まず、上から考えましょう。パスカルの三角形を書きます。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

このとき、上式の右辺(n+1)C2は、赤字の列になります。

この命題は、次回きちんと証明します。
(パスカルの三角形が、きれいに表示されていなくてすいません)
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