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原始関数を微分して得られる導関数は、原始関数の傾きを表しています。そこで、僕は円を微分すると、どういう曲線になるのか、と思いました。

単位円の方程式は

x^2+y^2=1
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これをyについて解くと、

y=+-(1-x^2)^1/2
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+と-は、x軸の上下それぞれを表しています。簡単のために、+側、つまり上だけにしましょう。それを微分すると、

y'=-x/√(1-x^2)
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そのグラフは、こうなります。
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これには、疑念を持っている人も多いのではないでしょうか。僕もそうでした。

いやその、表記上の問題だと言われても、結局最後には0.000⋯1が残るじゃないですか。そう考えちゃうんですよ。理屈では、数学上1になる、と知ってはいても。

「数学ガール ゲーデルの不完全性定理」を読んでいたら、この疑問に対して、極限を使って説明していました。僕も、納得がいきました。そこで、今朝はこれを書くことにします。

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買い
3/25
SFマガジン2013/05
早川書房

「高校数学+α 基礎と論理の物語」
宮腰忠 共立出版

3/28
「数学と算数の遠近法」
瀬山士郎
早川文庫

4/24
「神は数学者か?」
マリオ・リヴィオ
早川書房

読み
3/27
「はじめての現代数学」
瀬山士郎
早川文庫

4/6
「歴史は「べき乗則」で動く」
マーク・ブキャナン
早川文庫

4/11
「数学ガール」
結城浩
ソフトバンククリエイティブ

4/18
「グッドラック 戦闘妖精・雪風」
神林長平 ハヤカワ文庫

4/22
「数学ガール フェルマーの最終定理」
結城浩
ソフトバンククリエイティブ
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単位円の方程式は

x^2+y^2=1


です。楕円の方程式は

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1


です。円の方程式を、a^2とb^2で割ったもの。2aは、x軸の径、2bはy軸の径です。a=1、b=1の楕円が、上記の単位円となります。

放物線の方程式は

y=ax^2


です。さて、放物線は楕円の長径が、無限に引き延ばされた状態です。y軸で考えましょうか。

双曲線の方程式は、

(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1


楕円の式の真ん中がマイナスになった形です。
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前に書いた記事に、たんぽぽさんからコメントをもらいました。極形式? なんだ? と思っていたら、数Cの曲線の単元ででてきました。

座標を表現するのに、方眼を使うのではなく、距離と角度を使うのですね。

たとえて言えば、時計の文字盤の中心をOと置き、針の長さをrとします。9時から3時までの直線を基準に、針がどんな角度をとっているか?

任意の点は、針の長さと針の角度で、一意に表せます。デカルト座標で(1,1)の点は、極形式では(√2,π/4)です。そしてこの極形式では、曲線や直線も、方程式で表すことができます。
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砂山ゲームは、示唆にとんだ面白いモチーフです。砂山は、常に臨界状態にあります。なぜか。

任意の地点に落ちた砂粒が、ある規模の雪崩を引き起こしたとしましょう。その雪崩は、勢力が及ぶ範囲の砂粒を、臨界直前の状態まで崩して、止まります。まあそれはそうですよね。

これは、地震の原因となるプレートのひずみや、山火事の原因となる、樹木や雑草の密集も同じです。

ですから、プレートの岩が破断したときに、それが大地震になる可能性は常にあるのです。バネは伸びきらずに、いつもぎりぎりの状態なのです。
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「歴史は「べき乗則」で動く」に繰り返し登場するモチーフです。

紙の上に、砂を一粒ずつ落としてゆきます。だんだんとつみあがり、小山になります。時には、落とした砂粒が雪崩を引きおこすことがあります。

二三粒のごくごく小規模な雪崩もあれば、山の形が変わるほどのそれも、あります。そしてそれは、冪乗にしたがって、起こる規模と頻度が決まるのです。

具体的にいいましょう。砂山の雪崩は、規模が二倍になると、その頻度は2.14分の1になります。そしてこのべき乗の法則は、規模と頻度の比は違っても、さまざまな場面で見られるらしいのですね。

たとえば、歴史に記録されている戦争。あるいは、地震。山火事。

で、砂山です。砂山を大崩落させる砂粒も、落ちる位置が違うだけで、その他の砂粒と何も変わりません。これは、まったく同じ原因から、さまざまな規模の事象が引き起こされることを意味しています。
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一般には、セイレーンと呼びますよね。看板に出ている、あの魔女です。あの人は、左右対称ではなく、微妙にずらしてあると聞きました。そこで、左右を反転させたり、合成したらどうなるか、を試したわけです。
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うーむ、どれも同じように見えるω gifアニメだと、分かりやすいです。確かに、左右非対称です。
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「歴史は「べき乗則」で動く」に載っていた、面白い現象です。

液体ヘリウムをさらに冷却すると、超流動体になります。これは、通常の液体にある「粘性」がまったくないので、かき混ぜると、うずは永久に消えず、回転が止まりません。液体同士にも、器との間にも、摩擦が働かないのですね。

ですから逆に、超流動体の液体ヘリウムを入れた器を回転させたとしても、液体は回転しません。

この性質を利用して、カリフォルニア大学の物理学者リチャード・パッカードのチームは地球の自転の速度を、1/1000の精度で測定したそうです。

へえ、たいしたものだ。
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4色問題は、与えられた図形を何色で塗り分けることができるか? を問う問題です。よく言われるのが地図の塗り分けですね。

隣り合った国を別の色で塗るとして、何色必要か? 単純に言えば、国の数だけあれば、足ります。でも、右端の国と左端の国はじかに接していないので、同じ色で塗っても使用には耐えそうです。

と考えていって、はたしてどこまで色を節約できるか? が、4色問題なのです。僕はこれを聞いた時に、花ビラみたいな図形を考えました。こんなの。
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この花びらを塗り分けるには、4色じゃあ無理だろう。そう思って、やってみたら、塗り分けられたω
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じゃあこれではどうか?
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塗り分けれるなあ。
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