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数直線上で、ある数を覆いたいと思ったとします。まず0を覆いましょうか。それに必要なサイズがいくつであれ、とりあえず一辺が1の正方形で覆いましょう。

この正方形では、-1/2<0<1/2の範囲が覆われます。0が含まれているので、これでいいのです。

では次は、1と-1を覆います。今度は一辺が1/2の正方形にしましょう。正の方は、3/4<1<1+1/2の範囲を覆います。マイナス側も同様。

次は2と-2。正方形の一辺は1/4・・・・というように、どんどん続けます。正方形は小さくなりますが、少なくとも、数直線上の整数は、みな覆われることになります。

その際に必要な正方形の全体の集合は、どれくらいでしょうか。

1*1+2(1/2*1/2)+2(1/4*1/4)+2(1/8*1/8)・・・=1+1/2+1/8+1/32+・・これを図で書くとわかるのですが、絶対に2に達しません。

全整数は、面積2で覆えるのです。

実際には、数直線上の数は、大きさを持たない点なので、全整数を覆うのに、面積は必要ありません。

たとえば、はじめの0を、一辺0.00001の正方形で覆ったら? はるかに小さい面積で、全部の整数が覆えます。そしてそれは、どんどん小さくしても成り立つ理屈なのですね。

では全実数を覆うには?

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フィボナッチ数列は、前の二項の和が次の項になる数列です。「1.1.2.3.5.8.13・・・」と続きます。

これを、1よりも前に拡張すると、とたんにギザギザになります。「-21.13.-8.5.-3.2.-1.1.0.1.1.2.3.5.8・・」という具合。グラフにしたのがこれです。

基準点として、「0.1」の部分を選び、そこを「0.-1」にすると、符号が反転します。また「0.2」にすると、すべての数が倍になります。

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とりあえず3桁で考えましょう。3桁の数は100L+10M+Nと表せます。

まず、100Lに注目します。ここから引かれるのは、100Lか10LかLです。すると、0か90Lか99Lになります。どれも9で割り切れます。

次に、10Mです。引かれるのは100Mか10MかMです。結果は、-90Mか0か9Mです。すべて、9で割り切れます。

最後はNです。100Nか10NかNを引くと、-99N、-9N、0で、どれも9で割り切れます。

組み合わせの、さらに引かれる組み合わせを考えてみました。どの組み合わせでも9で割り切れるので、

「任意の整数から、桁をシャッフルして引き、得た数は、9で割り切れる」

と証明できた、と考えます。
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任意の命題が提示されたときに、それを一般化したがるのは、数学愛好者の常です(ということにしたいω)

先日の「53-35が9で割り切れる」の記事を、二桁ではなく3桁、4桁、n桁で検証してみましょう。

3桁の場合

まずは、任意の数を、100l+10m+nと表記します。全部の組み合わせを並べると、

100l+10m+n
100l+10n+m

100m+10n+l
100m+10l+n

100n+10l+m
100n+10m+l

あっはっは、3つの数字の組み合わせですから、とたんにむつかしくなる。ガロアの群論みたいになってきてしまうな・・

なんていっていないで、計算してみました。いちばん最初の「100l+10m+n」を原型にして、それからほかのを引いてみると、なんと、すべての組み合わせで9の倍数になり、9で割れるのです。こうなると、欲が出てきます。

2桁、3桁で可能なら、n桁でも可能なのではないか? n+1桁でもいける?

4桁の場合、組み合わせが24、5桁ですと、120にもなります。テトラさんなら、すべてやるかもしれませんが、さてどうしよう。
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二桁の数字を、前後を入れかえた差は、9で割り切れます。

任意の2桁の数字は、10n+mと表記できます。位を入れ替えると10m+nです。

(10n+m)-(10m+n)
=10n-n-10m+m
=9n-9m
=9(n-m)


となり、9で割り切れます。
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関数f(x)を考えます。

これを微分して、f'(x)を得たとします。この導関数の解は、原始関数f(x)の極値(の候補)になります。

さらにもういちど微分して、f''(x)を得ます。この、第二次導関数の解は、第一次導関数の極値の候補であり、また、原始関数の変曲点の候補でもあります。

グラフにすると、こうですね。

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まだまだ数学特集は続きますが、今回は息抜き。僕の。

計算をやりかけた方眼紙が出てきました。複素数平面で、連続してかけ算をして円運動を行おうとしたようです。

意図は思い出せるんですが、記事にするのが正直めんどうくさい。ですから、今朝はそれをスキャンしたまま、掲載します。

読み取ってください。

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前回は1次の連立方程式を考えました。今回は2次式でやってみましょう。

-x^2-y+2=0
x^2-y=0

したの式から、

x^2=y

これを上の式に代入します。

-y-y+2=0
-2y+2=0
2y=2
y=1

yが求まりました。これを、下の式に代入します。

x^2-1=0
x^2=1
x=+-1

この連立方程式の解は、
x=+-1
y=1

グラフにすると、こうなります。交点は(1,1)と(-1,1)なので、あっています。

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2x+y+1=0
x-y+2=0

このふたつの方程式を考えます。下の式を変形して、

y=x+2

これを上の式に代入して、

2x+(x+2)+1=0
3x+3=0
3x=-3
x=-1

xがでました。これを下の式に代入すると、yもでます。

2*(-1)+y+1=0
-2+y+1=0
-1+y=0
y=1

この連立方程式の解は、

x=-1
y=1

です。これを、グラフで書くと、こうなります。ふたつのグラフの交点が、(-1,1)になっています。これが、解です。

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いままでの二回は、数列から関数を考えました。今回は、関数を数列化してみます。

y=x^2

ごく普通の二次関数です。これを数列化すると、

1.4.9.16.25

となります。一般項は

an=n^2

ですよね。

階差数列は、3.5.7.9.さらにその階差数列は2.2.2.

これをグラフにすると、こうなります。これは、微分と同じですよね。
(正確には、差分らしい)

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