カテゴリ:モチーフについて( 1061 )

有理数体Qを係数体として、そこに√2を添加した体Q(√2)の拡大次数は2。ちなみに、拡大次数とはQ(√2)をQ上の線型空間とみなした時の「基底の要素数」、つまり次元のこと。

つぎに、Qにふたつの要素を追加した体、たとえばQ(√2,√3)の拡大次数は4だそうだ。つまり4次元。これは、複素数の次が3元数ではなく、4元数になるのと同じではないのかな。

(この項、たぶん続きます)
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ay^3+by^2+cy+d=0

このとき、y=(x-(b/3a))とおくと、2次の項が消える

ay^2+by+c=0

このとき、y=(x-(b/2a))とおくと、1次の項が消える。

ここから、

ay^n+by^(n-1)・・+m

y=(x-(b/na))とおくと、n-1次の項が消えそうである。これは、二項定理で証明できないか?
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中心の座標が(x,y)で、半径がrの円を書くとします。

その円周上の点は、

x+rcosθ+i(y+rsinθ)

と書けます。この点には、180度反対側の点が対応し、その点は

x-rcosθ+i(y-rsinθ)

と書けます。この2点の和は2x+2yです。円周上に点は無限に存在するので、総和は無限大に発散します。

これ、面白いですね。単位円や、中心が原点の円は、(x,y)=(0,0)なので、総和も0になるのです。
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円周上の各点を複素数とします。単位円の円周の総和は0になります。では、中心を変えずに、半径をかえたらどうでしょうか?

やはりゼロです。

証明
任意の単位円周上の点Pには、点対称の点P’が存在し、足すと0になる。中心が原点である以上、そべての円に当てはまる。

では、単位円の中心を座標(x,y)にずらしてみましょう。すると、この円周上の点は、
x+cosθ+i(y+sinθ)

と書けます。この点には、ちょうど180度反対側の点が対応し、その点は

x-cosθ+i(y-sinθ)

となります。対応する点を足し合わせると、2x+i2yです。そして円周上には無限に多くの点が存在するので、2x+i2yを無限回足し合わせることになり、それは当然ですが、無限大に発散します。
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平行ではない二つの(平面)ベクトルをA、Bとします。ちなみに、実数上で考えます。

さて、ベクトルAの大きさを|A|とすると、|A|は実数になります。なのでその逆数|A|’が存在して、|A|/|A|’=1です。

任意の実数Rは、(|A|/|A|’)*Rと書くことができ、ベクトルA上の任意の点が表現できます。

A上にない点CからAまで、ベクトルBを伸ばします。ベクトルの長さは、上記の議論より任意に決められるので、Aにぴったりと届かせることができます。これで、任意の点が、ベクトルAとBで表現できることがわかりました。
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「数学ガール ガロア理論」の「角の三等分問題」を証明する単元だん。途中、一箇所わからないところがあったし、もう一度やり直す。

「開平した数が一般的にp+q√rと置ける」が、やはりわからない。

「開平した数が一般的にp+q√rと置ける」
気がついた。じつは、単純なことなのかもしれないな。

任意の実数aを考えて、それを開平すると√a

a=b*(c^2)とすると、√a=c√b

a=(p+q√r)^2
とすると、
√a=p+q√r

それだけの話なんじゃないかな。
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(x-a1)(x-a2)=x^2-(a1+a2)x+a1*a2
なので、係数は、(a1+a2)と(a1*a2)となる。

(x-a1)(x-a2)(x-a3)=x^3-(a1+a2+a3)x^2+(a1*a2+a2*a3+a3*a1)x-a1*a2*a3
となる。
x^2の係数は、根の和、xの係数は根をふたつづつ組にした積の総和、x^0の係数は根の総積。

計算が面倒くさいから証明はしないけど、高次方程式の係数は、根を幾つか組み合わせて、すべての組み合わせの総和になる。
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を満たす正の整数をすべてみつけよ

#ロジカルな思考を育てる数学問題集

(x,y)=(2,2)

ほかにないか?

xy=a

x+y=a
(aは定数)のグラフを考えてみた。

xy=a

y=a/x
という分数関数になる。

x+y=a

y=-x+a
という一次関数になる。

うん、たぶん(x,y)=(2,2)だけだ。
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