カテゴリ:モチーフについて( 1126 )

つまり集合Q(x)の元は、xがn次方程式の解として、a1x^(n-1)+a2x^(n-2)・・a(n-1)x+anと書かれる。aiは有理数。

超越数はn次方程式の解にならないから、上式のxに該当しない。

ここでeを、無理に上記の体に当てはめてみる。Q(e)の元は、a1e^(n-1)+略 の形で書かれる。

e^2=e*eもQ(e)の元なのだけどaiは有理数なので一次の項の、a(n-1)はeにならない。ゆえに、Q(e)は体ではない。
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Qは有理数体、αとβは任意の複素数とします。

α+β∈Q(α,β)

なので、Q(α+β)はQ(α,β)の部分集合です。では、Q(α,β)がQ(α+β)の部分集合であることを示せば、表題の問が証明できます。

そのためには、αとβがα+βから作れることを示さないといけません。

(この項続くかもしれない)
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表題では意味がわかりませんよね。つまりこういうことです。

d0164691_21211774.png


でもって、雑ではあるけど、その証明がこれです。

d0164691_21225336.png

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αが代数的数でない、たとえばπである時に、Q(α)つまりQ(π)の基底はどうなるのか。
Q(α)は体なので加減乗除について閉じている。ゆえに、Q(π)の要素であるπを自乗したものも、Q(π)に属する。

つまり、πが代数的数でない以上、πのn乗もすべて基底として用意しないといけないわけで、Q(π)は無限に次元が必要になる。



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上から2行目

[x^6 y^4 z^3 w]はキャンセルされます。


この大カッコは不要ではないでしょうか。同書で定義されている演算[ ]ではなく、値としてのx^6 y^4 z^3 w ではないかと思われます。つまり、下の記述が正しいのではないのでしょうか。


x^6 y^4 z^3 w はキャンセルされます。



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右上の図は、虚軸が1ではないのか?

d0164691_9105243.png

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上から8行目の、σの添え字が違っています。


σ1j(α)=αであり、i≠1のとき、αji(α)=αi≠αです。α1j(α)=αであれば、M=Q(α)の元を全て不変にしますから、
GAL(L/M)=(σ11,σ12,…σ1n}
です。

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今まで書いてきた数列を、きちんと書き出してみた。

d0164691_20545914.jpg

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「数列の列」ANは、数が縦横に並んだ数表です。ANの上にBNを重ねると、数立体になります。次はBNからCNを定義しましょう。

とはいったものの、どうやって定義すれば、今後のDNにつながってゆくのかな・・一般性を保ちつつ、きれいに定義したいですよね。

つまりAN,BN,CN..をα1N,α2N,α3N..と書き換えて、αLNというかたちで、一般性を持たせたい。

もはや巨大数からは、だいぶ離れています。数立体が定義できたら、もちろん次は数4次元立体、その後は数n次元立体まで行ければいいんですが。
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今後のために、ちょっと表記を変えましょう。

数列A1の第一項をA1(1)、第二項をA2(2)とします。以下続く。同様に数列ANの第m項をAN(m)とします。

「数列の列」が定義できたので、「第二の数列の列」BNを考えます。第一項が1なのはANと同じ。以下は、掛け算で定義します。

B1(m+1)=A1(m)*1=A1(m)
B1={1,2,3,4...}

B2(m+1)=A2(m)*2=A2(m)+A2(m)
B2={1,2,6,10...}

BN(m+1)=AN(m)*n
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