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ディオファントス方程式の定理の証明

ディオファントス方程式の係数ABが互いに素であれば、


Ax0+By0=C


となる整数x0y0が存在し、方程式の解はすべて下の形になる


x=x0+Bk

y=y0-Ak


(kは整数)


この証明で肝心なのは、冒頭の「ディオファントス方程式の係数ABが互いに素であれば、解が存在する」の部分でしょう。それ以下は自明です。


これを線形代数の言葉で書き直すと、AとBが基底になる、という意味です。


複素数の虚部から、iを取り除いたものを考える。

座標(2,3)を、(2+i3)ではなく(2+3)とみなす。すると、(2,3)=(3,2)になる。

そして、x軸上とy軸上に、互いに素となる長さ、の基底β)をとる。


すると、abを整数として、

aα+bβ

は格子点を表し、ある整数に一致する。

問題は、abが全整数を動くときに、aα+bβが全整数を表現できるか?


aα+bβ=c

とする。

この式を、

x+y=c

と書き直すと、座標平面上の直線になる。この直線上の格子点は、すべて同じ整数を表現する。


基底αβが、互いに素でないとすると、

β=kα

と書ける。すると

aα+bβ=aα+kαβ=α(a+kβ)

となり、αの倍数しか作れない。


これで、αβが互いに素でないときに、aα+bβが全整数を作れないことが分かる。


いろいろと書いたけど、


aα+bβ=1

となることを示せれば、あとは

c(aα+bβ)=caα+cbβ=c

となるところまで、わかった。


aα+bβ=1

はどうやって示す??


数学的帰納法で、はじめのドミノが倒せない状態だ。




by tomoarrow | 2016-09-14 07:00 | モチーフについて | Comments(0)