n桁の場合
まず、100Lに注目します。ここから引かれるのは、100Lか10LかLです。すると、0か90Lか99Lになります。どれも9で割り切れます。
次に、10Mです。引かれるのは100Mか10MかMです。結果は、-90Mか0か9Mです。すべて、9で割り切れます。
最後はNです。100Nか10NかNを引くと、-99N、-9N、0で、どれも9で割り切れます。
組み合わせの、さらに引かれる組み合わせを考えてみました。どの組み合わせでも9で割り切れるので、
「任意の整数から、桁をシャッフルして引き、得た数は、9で割り切れる」
と証明できた、と考えます。